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妙用「平方差公式」巧解计算题

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爱立克欠 | 发表于 2021-9-13 16:22:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
    妙用「平方差公式」巧解计算题

    前两天有一位学生问我,

微信图片_20210913161619.jpg

    虽然没有能够及时帮助到她,但是这道题目还是值得聊一聊。原题如下,

    微信图片_20210913161628.jpg

    这道题死算是不现实的,肯定是要用一些技巧。既然是放在七年级上学期,那肯定又要和我们现阶段学习的一些知识联系起来。是哪一个知识点呢?

    在七上第九章“整式”,我们会学习包括平方差公式在内的一系列的乘法公式,并且常常会在代数式的运算中用到这些公式。其中,平方差公式,也就是a^2-b^2=(a-b)×(a+b),是学生们公认最好掌握的,可偏偏是这样一个十分基础的公式,改个头换个面,可能你就不认识了。

    先看一些比较明显的题目,比如

微信图片_20210913161625.jpg
    这道题是学习平方差公式时的一道“必考题”。结合公式,我们能够发现,12345=12346-1,12347=12346+1,所以12345×12347=(12346-1)(12346+1)=12346^2-1^2,再去括号,把正负12346^2抵消,就能得到结果。过程如下,我尽量我动画把变化关系表示了出来,有助于初学者理解。

   微信图片_20210913161633.jpg

    还有一类题目也十分常见,

   微信图片_20210913161630.gif

    在解题时,我们可以先乘(2-1),再除以(2-1),这样虽然没有改变算式的大小,但是却成功构造了一个平方差公式,接着从前往后,(2-1)(2+1)=2^2-1,(2^2-1)(2^2+1)=2^4-1……得到算式的值为2^16-1。我常常和学生说,这类题目的计算过程就像多米诺骨牌一样,只要第一步对了,随后产生的一系列的连锁反应,会助你轻松得到结果。

    微信图片_20210913161635.gif

    再看一道类似的题目,可以自己动动笔,算一算

    微信图片_20210913161642.jpg

    .

    .

    .

    等

    待

    时

    间

    .

    .

    .

    这道题目的答案是2^256-1,相信你肯定做对了。

    回到文章开头,

    微信图片_20210913161639.jpg

    参考上面几题,将算式中的各数用乘方的形式表达,会有助于我们解题——不难发现,11=10+1,101=10^2+1,10001=10^4+1,100000001=10^8+1。我们只需乘上(10-1),就能构造出一个平方差公式(在从前往后计算的过程中,还会产生第二个,第三个,第四个)。当然,为了保证算式的值不变,我们还要除以(10-1),可以写作×1/9。具体计算过程,看下面这幅动图就非常清楚了。

微信图片_20210913161644.gif

    乘法公式背背容易,但是真要达到灵活应用的水平,还是需要大量的练习和总结。不像文中的题目那样,构造了一个平方差公式,后面的就会有连锁反应,剩余的公式也顺次形成……相反,学习的过程中没有多米诺骨牌效应,每一步都要付诸努力!

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