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「短除模型」是什么?怎么用?

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123459990 | 发表于 2021-9-26 11:10:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
    「短除模型」是什么?怎么用?

    在学习因数倍数的时候,学生一定会接触到短除模型这个工具。这篇文章就为你介绍短除模型的含义和应用。如果你对这个模型还比较陌生,或者说老是学不会、用不好,那么往下看就对了!

    理解短除模型

    01

    很多学生学不会短除模型,说到底是不理解。所以还是要从你熟悉的例子看起:

    请计算24和36的最大公因数和最小公倍数。

1.jpg

    24和36的最大公因数是:2×2×3=12

    24和36的最小公倍数是:2×2×3×2×3=72

    再看下面这个算式,

2.jpg

    这就是短除模型的“原型”——用24和36,直接除以两数的最大公因数12,分别得到商2和3。下面这幅动图可以助你理解,

3.gif

    短 除 模 型

    假设两个正整数A和B,A、B的最大公因数是m,可以得到

4.jpg
    其中A=ma,B=mb,A和B的最小公倍数就是mab,A与B的乘积是ma·mb——接着,我们就能将题目给定的条件转化为数学的语言,即列出关于m、a、b的方程。

    值得注意的是,a和b一定是互素的,否则m就不是两数的最大公因数了(也就是还能继续往下除)。

    应用短除模型

    02

    短除模型不是公式,直接套用也无法得出结果,但它却为学生提供了一个实用的解决问题的思路。来看两个例子。

    【例1】

    两个数的最大公因数是3,最小公倍数是252,如果它们相差15,那它们分别是(            ).

    第一步,完成假设,写出短除模型

    图片 5.jpg     第二步,根据条件,列出关于a和b的方程

    图片

    第三步,根据a、b互素,进行拆数

    (84=1×84=2×42=3×28=4×21=6×14=7×12,其中符合题意的,即互素且相差5的,只有7和12这一组,所以a=12,b=7)

6.jpg

    所以这两个数分别是36和21。

    图片

7.jpg

    已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,这两个数分别为(            ).

    再走一遍整个流程——

    第一步,完成假设,写出短除模型

    (需要注意,例2没有给出最大公因数,只能将其记为m,这一点和例1是不同的)

8.gif

    第二步,根据条件,列出关于m、a、b的方程

    图片

    第三步,根据a、b互素,进行拆数

    (15=1×15=3×5,两个结果都符合a、b互素这一条件,要分别计算出对应的A和B)

9.jpg

    (这是a、b互素的数学表达,即两数的最大公因数是1)

10.jpg

    所以这两个数分别是4和60,或者12和20。

    通过两道例题,相信你也一定能总结出运用短除模型解决问题的基本步骤:第一步是假设;第二步是依据条件列方程;第三步是拆数,求解。

    此外,还要提醒你注意两点,

    1. a和b必须互素,这点要牢记于心;

    2. 这类题目常常会有多解,在拆数的时候务必枚举到位,不慌不乱,才能不重不漏。

12.jpg
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