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七年级上学期必背公式(一)

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山东理理a | 发表于 7 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式
    七年级上学期必背公式(一)

    七上的乘法公式可以分为两类:平方公式和立方公式。其中平方公式主要包括:平方差公式和完全平方公式,立方公式包括:立方和公式、立方差公式和完全立方公式等等。

    学习数学,理解大于记忆,我是不主张死记硬背的,但是这并不意味着就不用花时间精力去背。像乘法公式,该记就记,容不得半点马虎!举个不恰当的例子——一个不背九九乘法表的学生,能够学好乘法吗?答案显然是不能。乘法公式不熟练,那么在学习整式的时候就一定会处处碰壁。

    在这篇文章中,我会简要介绍平方公式的内容、推导过程和记忆方法(立方公式等下一篇),在理解的基础上记忆、应用。希望对你有所帮助!

    01

    平方差公式

    微信图片_20211013105734.jpg

    先强调一点,a^2-b^2叫做“a和b的平方差”,(a-b)^2是“a和b的差的平方”。有不少同学在“用字母表示数”这一关就已经“倒下”了……

    平方差公式的可以通过代数或者几何的方法来推导。代数方法不必多说了,就是多项式的乘法:

    微信图片_20211013105744.jpg

    上式中+ab和-ab正好抵消,结果就只剩下a和b的平方差了。

    几何方法可以看下面这幅动图,大正方形的边长是a,小正方形的边长是b,观察阴影部分的面积——

    阴影部分面积=大正方形面积-小正方形的面积=a^2-b^2,也是变化之后长方形的面积,(a+b)(a-b),即(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

微信图片_20211013105751.jpg

    在运用平方差公式的时候,务必分清楚谁是a,谁是b。记住这两者的特征——a是同号的,b是异号的,比如(-x-y)(x-y)中,“-y”就应当被看作a,而x则是b;在(x+y+z)(x-y-z)=[x+(y+z)][x-(y+z)]中,x就是a,(y+z)就是b。平方差公式不难背,但是要正确地应用,还需要你仔细分辨a和b。

    02

    完全平方公式

微信图片_20211013105753.jpg

    两数之和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍。一般我们都会教上面这两个完全平方公式,但它们本质上是一样的,把第一个公式中的b看作-b,就得到第二个公式了。

    和平方差公式一样,完全平方公式也可以通过代数和几何的方法来推导。代数方法也是多项式的乘法,

微信图片_20211013105756.gif

    几何方法如下,大正方形的面积既可以表示为(a+b)^2,也可以拆成四个部分:两个正方形的面积分别是a^2和b^2;和两个相同的长方形,面积都是a×b。

    微信图片_20211013105759.jpg

    此外,我们还可以通过下图推导出两数之差的平方等于什么,自己试试(这也是沪教版课本上的一道思考题)

    微信图片_20211013105748.gif

    平常我们碰到的题目不一定是a和b,可能是x和y,或者其他带有复杂系数的项,这时候一定要耐下心来,先“代入”公式,再“计算”,别跳步骤,否则就很有可能会出错。

    03

    三元完全平方公式

微信图片_20211013105804.jpg

    三数和的平方在教材中已经是属于“探究”的部分了,但是因为考查频率很高,且不难记,所以一般还都是要求掌握的。

    记住一句话:三数和的平方,等于每个数的平方和加上每两个数乘积的2倍。这也适用于更多字母的情况,比如四数和的完全平方,

微信图片_20211013105807.jpg

    原因?就当做多项式的乘法,动手算一下,就知道了!

    04

    三元配方公式

    在一些学校的拓展卷中,还可能会出现三元配方的题目。有意思的是,三元配方公式是“超纲”的,但是配方的步骤却都是符合课程标准的,因而这类题目可以光明正大地考。配方过程,是先将代数式整体扩大2倍,再乘1/2,后面就好办了,

    微信图片_20211013105809.jpg

    即便符号稍有变化,我们也可以通过同样的方式进行处理,

微信图片_20211013105812.jpg

    当然了,熟记公式或者掌握公式的推导方法,只是学习乘法公式的第一步。如何在一道具体的题目中,“发现”公式,再套用公式,才真正反映出你的掌握程度如何!不信?可以看看我之前写的这篇文章 妙用「平方差公式」巧解计算题。

    好了,就聊这么多啦。今天是9月10日,是我接触教培行业后的第8个教师节。新政之下,这个节日或许已经要与我无关,但我始终相信自己在做一件对的事情,也期待你们的支持。

    但行好事,莫问前程吧……

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